Question

（12分）已知函數為奇函數，為常數，

（1）求實數的值；

（2）證明：函數在區間上單調遞增；

（3）若對于區間上的每一個值，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)根據f(x)為奇函數，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，所以

,

所以,經檢驗當a=1時，顯然不符合要求，

所以a=-1.

(2)證明:設

設，

所以，

所以

即，

所以函數在區間上單調遞增；

(3) 對于區間上的每一個值，不等式恒成立,

即,由(2)知在[3,4]上是增函數，所以當x=3時，取得最小值，最小值為

所以.

考點：函數的奇偶性，復合函數的單調性證明，函數單調性在不等式恒成立問題中的應用.

點評：函數是奇偶性可知f(-x)+f(x)=0恒成立，這是求解析式參數的基本方法.

復合函數單調性的證明可先證明內函數的單調性，再根據外函數的單調性證明即可，同學們要認真體會本小題的證法.

不等式恒成立問題在參數與變量能分離的情況下，最好分離參數，然后轉化為函數最值求解.