Question

4．已知f（x）=|x-2017|+|x-2016|+…+|x-1|+|x+1|+…+|x+2017|（x∈R），且滿足f（a²-3a+2）=f（a-1）的整數a共有n個，g（x）=$\frac{{x}^{2}（{x}^{2}+{k}^{2}+2k-4）+4}{（{x}^{2}+2）^{2}-2{x}^{2}}$的最小值為m，且m+n=3，則實數k的值為0或-2．

Answer 1

分析 根據已知，可以求出函數為一個偶函數，則f（a²-3a+2）=f（a-1），可以轉化為|a²-3a+2|=|a-1|，由絕對值的幾何意義，我們可得a，即可求出n，m，進而化簡函數，即可得出結論．

解答 解：根據絕對值的幾何意義可知f（-x）=f（x），即函數f（x）是偶函數，
若f（a²-3a+2）=f（a-1），
則a²-3a+2=a-1，①或a²-3a+2=-（a-1），②，
由①得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=a-1，
即（a-1）（a-3）=0，解得a=1或a=3．
由②得a²-3a+2=（a-1）（a-2）=-（a-1），
即（a-1）（a-1）=0，解得a=1．
綜上a=1或a=3，
又∵f（0）=f（1）=f（-1）
∴當a=2時，也滿足要求，
則a的值有3個，即n=3，
∵m+n=3，∴m=0，
g（x）=$\frac{{x}^{2}（{x}^{2}+{k}^{2}+2k-4）+4}{（{x}^{2}+2）^{2}-2{x}^{2}}$=1+$\frac{{k}^{2}+2k-6}{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+2}$的最小值為m=0，可得k²+2k-6=-6，
∴k=0或-2
故答案為0或-2．

點評 本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，及絕對值的幾何意義，解答本題的技巧性較強，難度也比較大，其中分析出函數的奇偶性，從面將f（a²-3a+2）=f（a-1），轉化為一個絕對值方程是解答本題的關鍵．