Question

已知數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，設b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范圍；
（2）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）設r=2^19.2-1，q=，求數列{}的最大項和最小項的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，可得公比的不等式，故可求q的取值范圍；
（2）先考慮相鄰項的關系，可知比值為常數，故可知數列是等比數列，由于公比不定，故要進行分類討論；
（3）先求數列{}的通項，再利用單調性，研究其最值．
解答：解：（1）由題意得rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹  
由題設r＞0，q＞0，故從上式可得   q²-q-1＜0，
∵q＞0，故
（2）∵b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而b_n=（1+r）q^n-1  
當q=1時，S_n=n（1+r），=0；
    當0＜q＜1時=
     當q＞1時，=0；
∴
（3）從上式可知，設f（n）=
當n＞21時，f（n）遞減，∴f（n）≤f（21），∴f（n）_max=2 25；
當n≤20時，f（n）遞減，∴f（n）≥f（20），f（n）_min=-4
∴當n=21時，數列{}有最大值2 25；當n=20時，數列{}有最小值-4．
點評：本題以等比數列為依托，考查數列的進行，考查數列中的最大與最小項，綜合性強，有難度．