Question

如圖①，E，F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點，∠B=90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A₁-EF-B，若M為線段A₁C中點．
求證：（1）直線FM∥平面A₁EB；
（2）平面A₁FC⊥平面A₁BC．

Answer 1

分析：（I）取A₁B中點N，連接NE，NM，證四邊形MNEF為平行四邊形來獲取MF∥NE，得到線面平行的條件．
（II）根據圖形找出線MF與面ABC中的兩條相交線垂直即可，由題目中的條件易得．

解答：證明：（1）取A₁B中點N，連接NE，NM，
則MN

∥ .

.

1

2

BC，EF

∥ .

.

1

2

BC，所以MN

∥ .

.

FE，
所以四邊形MNEF為平行四邊形，所以FM∥EN，（4分）
又因為FM?平面A₁EB，EN?平面A₁EB，
所以直線FM∥平面A₁EB．（7分）
（2）因為E，F分別AB和AC的中點，
所以A₁F=FC，所以FM⊥A₁C（9分）
同理，EN⊥A₁B，
由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A₁B
又因為A₁C∩A₁B=A₁，所以FM⊥平面A₁BC，（12分）
又因為FM?平面A₁FC
所以平面A₁FC⊥平面A₁BC．（14分）

點評：考查線面平行與線面垂直的判定定理，以及空間想象能力．