Question

已知數列{a_n}，S_n是其前n項和，且a_n=7S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）求數列{a_n} 的通項公式；
（2）設b_n=

1	log2an•log2an+1

，T_n是數列 {b_n}的前n項和，求T₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據n≥2，a_n=S_n-S_n-1，可得到數列{a_n} 的遞推關系式，再化簡，判斷數列{a_n} 是等比數列，利用等比數列的通項公式求處即可．
（2）先根據（1）中求出的數列{a_n} 的通項公式，求出數列 {b_n}的通項公式，再利用裂項相消法，求出數列 {b_n}的前n項和，把n=10代入，即可得到T₁₀的值．

解答：解：（1）∵n≥2時，a_n=7S_n-1+2，∴a_n+1=7S_n+2，a_n+1-a_n=7a_n，
∴a_n+1=8a_n，（n≥2）
又a₁=2．∴a₂=16=8a₁．
a_n+1=8a_n，（n≥N^*）
∴數列{a_n}是一個以2為首項，8為公比的等比數列
∴數列a_n=2^3n-2
（2）b_n=

1

log2an•log2an+1

=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）
∴Tn=

1

3

(1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

)=

1

3

(1-

1

3n+1

)∴T10=

10

31

點評：本題主要考查了遞推公式求通項公式，以及裂項相消求和的應用．