Question

已知z⁷=1（z∈C且z≠1）．
（1）證明1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=0；
（2）設z的輻角為α，求cosα+cos2α+cos4α的值．

Answer 1

分析：（1）證明1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=0；只須1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶乘z，此式移項化簡即可．
（2）由（1）知|z|=1，z的輻角為α時，復數z+z²+z⁴的實部為cosα+cos2α+cos4α，利用復數的性質構造z+z²+z^4即可．

解答：解：（1）由z（1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶）
=z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶+z⁷
=1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶，
得（z-1）（1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶）=0．（4分）
因為z≠1，z-1≠0，
所以1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶=0．（6分）
（2）因為z⁷=1．可知|z|=1，
所以z•

.

z

=1，而z⁷=1，所以z•z⁶=1，z6=

.

z

，同理

.

z2

=z5，

.

z4

=z3，

.

z+z2+z4

=z3+z5+z6
由（Ⅰ）知z+z²+z⁴+z³+z⁵+z⁶=-1，
即z+z2+z4+

.

z+z2+z4

=-1，
所以z+z²+z⁴的實部為-

1

2

，（8分）
而z的輻角為α時，復數z+z²+z⁴的實部為cosα+cos2α+cos4α，
所以cosα+cos2α+cos4α=-

1

2

．（12分）

點評：本小題主要考查復數的基本概念和基本運算，考查綜合運用復數的知識解決問題的能力．