Question

設函數f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a
（Ⅰ） 當a=0時，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ） 當m=2時，若函數g（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由a=0，我們可以由f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，得到-mlnx≥-x，即m≤

x

lnx

在（1，+∞）上恒成立，構造函數φ=

x

lnx

，求出函數的最小值，即可得到實數m的取值范圍；
（Ⅱ） 當m=2時，我們易求出函數g（x）=f（x）-h（x）的解析式，由方程的根與對應函數零點的關系，易轉化為x-2lnx=a，在[1，3]上恰有兩個相異實根，利用導數分析函數的單調性，然后根據零點存在定理，構造關于a的不等式組，解不等式組即可得到答案．

解答：解：（I）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即m≤

x

lnx

記φ=

x

lnx

，則f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等價于m≤φ（x）_min．（3分）
求得φ′(x)=

lnx-1

ln2x

（4分）
當x∈（1，e）時；φ′（x）＜0；當x∈（e，+∞）時，φ′（x）＞0（5分）
故φ（x）在x=e處取得極小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．（6分）
（II）函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同的零點等價于方程x-2lnx=a，
在[1，3]上恰有兩個相異實根．（7分）
令g（x）=x-2lnx，則g′(x)=1-

2

x

（8分）
當x∈[1，2）時，g′（x）＜0，當x∈（2，3]時，g′（x）＞0
g（x）在[1，2]上是單調遞減函數，在（2，3]上是單調遞增函數．
故g（x）_min=g（2）=2-2ln2（10分）
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3），
∴只需g（2）＜a≤g（3），（12分）
故a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]（13分）

點評：本題考查的知識點是利用導數研究函數的極值，函數的零點，其中（I）的關鍵是構造函數，將問題轉化為函數恒成立問題，（II）的關鍵是利用導數分析函數的單調性后，進而構造關于a的不等式組．