Question

命題p；f^-1（x）是f（x）=1+2^x的反函數，且丨f^-1（a）丨＜1，命題q：不等式a²-a≤丨x+1丨+丨x-1丨對任意實數x恒成立，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p和命題q的等價條件，然后利用復合命題p或q為真命題，p且q為假命題，求出實數a的取值范圍．

解答：解：因為f^-1（x）是f（x）=1+2^x的反函數，所以f^-1（x）=log₂（x-1），x＞1．
由丨f^-1（a）丨＜1，即|log₂（a-1）|＜1，
所以-1＜log₂（a-1）＜1，解得

1

2

＜a-1＜2，即

3

2

＜a＜3．
即p：

3

2

＜a＜3．￢p：a≥3或a≤

3

2

．
因為丨x+1丨+丨x-1丨≥2，所以不等式a²-a≤丨x+1丨+丨x-1丨對任意實數x恒成立，
則不等式a²-a≤2，即（a+1）（a-2）≤0，
解得-1≤a≤2．
即q：-1≤a≤2．￢q：a＞2或a＜-1．
因為p或q為真命題，p且q為假命題，則p，q一真一假．
則p真q假，或p假q真，
則

3 2 ＜a＜3 a＜-1或a＞2

或

-1≤a≤2 a≤ 3 2 或a≥3

，解得2＜a＜3或-1≤a≤

3

2

．

點評：本題考查復合命題與簡單命題真假之間的關系，先將命題p，q進行等價轉化是解決本題的關鍵．