Question

如圖，圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的長；
（2）設點P是弧BCD上的一動點（不與B，D重合）分別以PB，PD為一邊作正三角形PBE、正三角形PDF，求這兩個正三角形面積和的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32，cos∠BAD=-，
∴∠BAD=120°
代入上式可得，
∴（6分）
（2）設∠PBD=θ，θ∈0，120°）
（8分）
=（10分）
∵
∴（12分）
分析：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD，在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
結合cos∠BCD=-cos∠BAD 可求∠BAD，代入可求BD
（2）設∠PBD=θ，θ∈0，120°），由可表示三角形的面積之和
=，結合可求y得范圍
點評：本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，二倍角公式、輔助角公式在三角函數的最值求解中的綜合應用，考查運用知識分析問題、解決問題的能力．屬于知識的簡單綜合．