Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項和S_n ，且S_n=

1

3

（a_n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列{a_n} 是等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可得結(jié)論；
（2）再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

解答：（1）解：∵S_n=

1

3

（a_n-1），
∴S₁=

1

3

（a₁-1），∴a₁=-

1

2

；
∵S₂=

1

3

（a₂-1），∴a₂=

1

4

；
∵S₃=

1

3

（a₃-1），∴a₃=-

1

8

；
（2）證明：∵S_n=

1

3

（a_n-1），
∴S_n-1=

1

3

（a_n-1-1），
兩式相減：a_n=

1

3

（a_n-a_n-1），
∴當n≥2時，

an

an-1

=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查學生的計算能力，屬于中檔題．