Question

已知0＜a＜b，若函數(shù)f(x)=2x+

1

x

在[a，b]上單調(diào)遞增，則對于任意x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，使f(a)≤

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≤f(b)恒成立的函數(shù)g（x）可以是（　　）

• A．g(x)=1-

  1

  x2

• B．g（x）=x²+lnx-2
• C．g(x)=-2x-

  1

  x

• D．g(x)=ex(2x+

  1

  x

  )

Answer 1

分析：由于g′(x)=

lim

x1→x2

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，故“f(a)≤

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≤f(b)恒成立”?“恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）”．再依據(jù)函數(shù)f（x）單調(diào)性，即可得到正確結(jié)論．

解答：解：由于對于任意x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，使f(a)≤

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≤f(b)恒成立
則對于任意x∈[a，b]，恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）
由于0＜a＜b，函數(shù)f(x)=2x+

1

x

在[a，b]上單調(diào)遞增，
則只需使g′（x）=f（x）即可，
故答案為 B

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念，解題關(guān)鍵是在[a，b]上，將“f(a)≤

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≤f(b)恒成立”轉(zhuǎn)化為“恒有f（a）≤g′（x）≤f（b）”．