Question

設向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b滿足|ka+b|=3|a-kb|(k為正實數(shù)).

(1)求證:(a+b)⊥(a-b);

(2)設a與b的數(shù)量積表示為關于k的函數(shù)f(k),求f(k);

(3)求函數(shù)f(k)的最小值及取得最小值時a與b的夾角.

Answer 1

活動:本題是一道向量應用的經(jīng)典例題,難度不大但綜合性較強,體現(xiàn)平面向量與函數(shù)、與三角函數(shù)的交匯,是近幾年高考的熱點問題.解決這類問題必須熟知平面向量的概念、運算性質、定理、公式等基礎知識.教師可以充分讓學生自己去探究解決.對感到困難的學生,教師引導其回憶相關的知識,并適時地點撥學生注意條件的轉化及解答的規(guī)范.

(1)證明:|a|==1,|b|==1,

∵(a+b)·(a-b)=|a|²-|b|²=0,∴(a+b)⊥(a-b).

(2)解:由|ka+b|=3|a-kb|,得(ka+b)²=3(a-kb)²,

化簡,得a·b=,故f(k)= (k＞0).

(3)解:由y=(y＞0),得k²-4ky+1=0.

∵k＞0,方程有解,∴Δ=16y²-4≥0,

解得y≥,即k=1時,f(k)取最小值為.

這時,設a與b的夾角為θ,則cosθ==.

又0≤θ≤π,∴a與b的夾角為.

點評:解決本題,我們首先要根據(jù)題意畫出圖形,借助對圖形的觀察,實現(xiàn)實際問題向數(shù)學問題的轉化.轉化與化歸思想是解決數(shù)學問題的一種重要的策略和方法.以向量為工具,通過轉化,可以為函數(shù)中的許多問題提供新穎、簡捷的解法,請同學們注意體會.