Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xex ， 且f（x）存在兩個極值點x1、x2 ， 其中x1＜x2 ．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求g（x1﹣x2）的最小值；
（3）證明不等式：f（x1）+x2＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題：f′（x）=2x﹣ （x＞﹣2）．

∵f（x）存在兩個極值點x1、x2，其中x1＜x2

∴關于x的方程2x﹣ =0，即2x2+4x﹣a=0在（﹣2，+∞）內有不等實根

令S（x）=2x2+4x（x＞﹣2），T（x）=a，

則﹣2＜a＜0，

∴實數a的取值范圍是（﹣2，0）

（2）解：由（1）可知

∴g（x）=xex得g（x）=（x+1）ex

∴當x∈（﹣2，﹣1）時，g′（x）＜0，即g（x）在（﹣2，﹣1）單調遞減；當x∈（﹣1，0）時，g′（x）＞0，即g（x）在（﹣1，0）單調遞增

∴g（x1﹣x2）min=g（﹣1）=﹣

（3）證明：由（1）知 ，

∴ =

令﹣x2=x，則0＜x＜1且

F（x）=﹣x﹣

F′（x）=﹣1+ （0＜x＜1）

∴G（x）= （0＜x＜1）

G′（x）=﹣ =

∵0＜x＜1，

∴G′（x）=﹣

∵0＜x＜1，∴G′（x）＜0，即F′（x）在（0，1）上是減函數．

∴F′（x）＞F′（1）＞0，

∴F（x）在（0，1）上是增函數

∴F（x）＜F（1）=﹣1，即 ，即f（x1）+x2＞0

【解析】（1）f（x）存在兩個極值點，等價于其導函數有兩個相異零點；（2）先找出（x1﹣x2）的取值范圍，再利用g（x）的導函數可找出最小值；（3）適當構造函數，并注意x1與x2的關系，轉化為函數求最大值問題，證明相關不等式．
【考點精析】關于本題考查的函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．