Question

將數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多兩項的規則排成如下數表：

已知表中的第一列數a₁，a₂，a₅…構成一個等差數列，記為{b_n}，且b₂=4，b₅=10。表中每一行正中間一個數a₁，a₃，a₇…構成數列{c_n}，其前n項和為S_n，
(1)求數列{b_n}的通項公式；
(2)若上表中，從第二行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，公比為同一個正數，且a₁₃=1，
①求S_n；
②記M={n|(n+1)c_n≥λ，n∈N*}，若集合M的元素個數為3，求實數λ的取值范圍。

Answer 1

解：(1)設數列{b_n}的公差為d，則，解得，
所以b_n=2n。
(2)①設每一行組成的等比數列的公比為q，
由于前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n²個數，且3²＜13＜4²，
所以a₁₀=b₄=8，所以a₁₃=a₁₀q³=8q³，
又a₁₃=1，解得，
因此，
所以，，
，
因此，
解得；
②由①知，，
不等式(n+1)c_n≥λ，可化為，
設，
計算得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，，
因為，
所以當n≥3時，f(n+1)＜f(n)，
因為集合M元素的個數為3，
所以λ的取值范圍是(4，5]。