Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，則平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離為（　　）

• A．

  2 a

  3

• B．

  2 a

  2

• C．

  3 a

  3

• D．

  3 a

  2

Answer 1

分析：連接A₁C，可以證明與面AB₁D₁與面BC₁D都垂直，設分別交于M，N，MN為平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離． 可求CN=A₁M=

3

3

a，從而MN=A₁C-A₁M-CN=

3

3

a．

解答：解：連接A₁C，與面AB₁D₁與面BC₁D分別交于M，N．
∵CC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁C∴B₁D₁⊥A₁C，
同理可證AB₁⊥A₁C，又B₁D₁∩AB₁=B₁，∴A₁C⊥面AB₁D₁；
同理可證，A₁C⊥面BC₁D．∴MN為平面AB₁D₁與平面BC₁D的距離
∵△AB₁D₁ 為正三角形，邊長為

2

a，三棱錐A1-AB₁D₁ 為正三棱錐，∴M為△AB₁D₁ 的中心，MA=

3

3

×

2

a=

6

3

a
A₁M=

A1A2-MA2

=

3

3

a，同理求出CN=A₁M=

3

3

a，又A₁C=

3

a，∴MN=A₁C-A₁M-CN=

3

3

a．
故選C．

點評：本題考查平行平面的距離計算，采用了間接法，轉化為點面距離．本題中蘊含著兩個結論①平面AB₁D₁與∥平面BC₁D．②平面AB₁D₁與平面BC₁D，將體對角線分成三等分．