Question

設x₁，x₂是函數的兩個極值點，且|x₁|+|x₂|=2．
（1）求a與b的關系式；
（2）令函數，求函數g（a）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為x₁，x₂是函數的兩個極值點，所以x₁，x₂是f′（x）=0的兩個實數根，根據a大于0，利用韋達定理得到兩根之積小于0即兩根異號，且表示出|x₁|+|x₂|，根據其值等于2列出a與b的關系式即可；
（2）從（1）中a與b的關系式中找出a的取值范圍即為g（a）的定義域，求出g′（a）=0時a的值，利用a的值在定義域范圍中，討論g′（a）的符號得到g（a）的單調區間，利用g（a）的增減性即可得到g（a）的最值，即可得到g（a）的值域．
解答：解：（1）f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=ax²+bx-a²=0的兩個實數根．
∵a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|==
∵|x₁|+|x₂|=2，
∴=2即a與b的關系式為b²-4a²+4a³=0；
（2）由（1）知b²-4a²+4a³=0，即b²=4a²-4a³≥0，∴0＜a≤1
∴函數g（a）的定義域為（0，1]
g′（a）=a²-a+1=（a-）（a-2）
∴a=是函數g（a）的極值點
∴a，g′（a），g（a）的變化如下：

∴g（1）≤g（a）≤g（）即≤g（a）≤
∴g（a）的值域為[，]
點評：本題要求學生會利用導函數的正負得到函數的單調性，會根據函數的增減性得到函數的極值，靈活運用韋達定理化簡求值，會求函數的定義域和值域，是一道中檔題．