Question

求證：若三棱錐的頂點到底面的射影是底面三角形的垂心，則底面三角形的任一頂點到所對側面的射影也必是此三角形的垂心．

Answer 1

已知：如圖，在三棱錐P-ABC中，PO⊥平面ABC，O為△ABC的垂心．
求證：A在平面PBC內的射影，是△PBC的垂心．
證明：連AO交BC于D，∵PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PO⊥BC
∵O為△ABC的垂心，∴BC⊥AO
∵PO∩AO=O，∴BC⊥平面PAD，從而BC⊥PA，
同理，AB⊥PC．
由于BC⊥平面PAD，所以平面PBC⊥平面PAD，作AH⊥PD于H，則AH⊥平面PBC
所以BH是AB在平面PBC內的射影，
由于AB⊥PC，由三垂線定理得，BH⊥PC．
又BC⊥PD，∴H是△PBC的垂心．