Question

設數列{a_n}中，相鄰兩項a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的兩根，且a₁₀=7，則b₁₇=    ．

Answer 1

【答案】分析：由a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的兩根，知a_n+a_n+1=n，a_n•a_n+1=b_n．所以a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=（n+1）-n=1，故a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_2n都是公差為1的等差數列，所以b₁₇=a₁₇a₁₈，由此能求出b₁₇．
解答：解：：∵a_n，a_n+1是方程x²-nx+b_n=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=n+1-n=1，
∴a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_2n都是公差為1的等差數列，
∵a₁₀=7，∴a₁₀=a₂+（5-1）×1=7，解得a₂=3，
∵a₁+a₂=1，解得a₁=-2，
∵b₁₇=a₁₇•a₁₈，
∵a₁₇=a₁+（8-1）×1=-2+7=5；
a₁₈=a₂+（9-1）×1=3+8=11，
∴b₁₇=a₁₇•a₁₈=5×11=55；
故答案為：55；
點評：本題考查數列與函數的綜合應用，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理的靈活運用．