Question

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，數列{a_n}、{b_n}滿足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求證數列{b_n}是等比數列；
（2）已知數列{c_n}滿足c_n=（n∈N^*），試建立數列{c_n}的遞推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若數列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

（1）證明：∵a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=-12．
∵a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n（n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴數列{b_n}是公比為3，首項為b₁的等比數列．
（2）解：由（1）得．
于是，有（n∈N^*），
即．
又，（n∈N^*），則c_n+1-c_n=1，n∈N^*．
因此，數列{c_n}的遞推公式是．
（3）解：由（2）可知，數列{c_n}是公差為1，首項為的等差數列，
于是c_n=，（n∈N^*）．
故=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．
因此，S_n=a₁+a₂+…+a_n
=1+4•3+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1，
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
將上述兩個等式相減，
得-2=1+-（3n-2）•3ⁿ，
∴2S_n=n•3ⁿ⁺¹-+．
所以-+，（n∈N^*）．
分析：（1）由a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，解得a=-2，b=3，a₂=-12．由a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），得到b_n+1=a_n+2-3a_n+1=3b_n（n∈N^*）．由此能夠證明數列{b_n}是等比數列．
（2）由，得．由此能夠推導出數列{c_n}的遞推公式．
（3）由c_n=，（n∈N^*），得=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．由此利用錯位相減法能夠求出數列{a_n}的前n項和．
點評：本題考查等比數列的證明，數列的遞推公式的推導，數列前n項和的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．