Question

已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為正常數）．
（1）證明函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）設函數f（x）在處有極值，對于一切，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）=asinx-x+b在（0，a+b]內至少有一個零點，代入f（0）和f（a+b）利用零點定理進行求解；
（2）對f（x）進行求導，利用函數f（x）在處有極值，可得f′（）=0，求出a的值，將問題轉化為b＞x+cosx-sinx對一切恒成立，利用常數分離法進行求解；
解答：解：（1）∵f（0）=b＞0…（2分）
f（a+b）=asin（a+b）-（a+b）+b=a[sin（a+b）-1]≤0…（4分）
∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點…（6分）
（2）∵f（x）=asinx-x+b，∴f'（x）=acosx-1…（7分）
由題意得，即…（8分）
問題等價于b＞x+cosx-sinx對一切恒成立…（9分）
記g（x）=x+cosx-sinx，
則…（10分）
∵…（11分）
∴
即
∴g'（x）≤0，即g（x）在上是減函數…（12分）
∴g（x）_max=g（0）=1，于是b＞1，故b的取值范圍是（1，+∞）…（13分）
點評：此題主要考查函數的零點定理以及函數的恒成立問題，利用導數研究函數的最值和極值問題，是一道基礎題；