Question

以O為原點，所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系.設·=1，點F的坐標為(t，0)，t∈［3，+∞)，點G的坐標為(x₀，y₀).

(1)求x₀關于t的函數x₀=f(x)的表達式，判斷函數f(t)的單調性，并證明你的判斷；

(2)設△OFG的面積S=t，若以O為中心，F為焦點的橢圓經過點G，求當||取得最小值時橢圓的方程；

(3)在(2)的條件下，若點P的坐標為(0，92)，C、D是橢圓上的兩點，且=λ(λ≠1)，求實數λ的取值范圍.

Answer 1

解：(1)由題意，=(x₀-t，y₀)，=(t，0)，

    則·=t(x₀-t)=1，∴x₀=f(t)=t+.

    設3≤t₁＜t₂，則f(t₂)-f(t₁)=(t₂+)-(t₁+)=.

∵t₂-t₁＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，∴f(t₂)-f(t₁)＞0，f(t₂)＞f(t₁)，

∴f(t)在［3，+∞)上單調遞增.

(2)由S=|||y₀|=t·|y₀|=t，得y₀=±，

∴點G的坐標為(t+，±)，||²=(t+)²+.

∵f(t)在［3，+∞］上單調遞增，

∴當t=3時，||取得最小值，此時F、G的坐標分別是(3，0)、(，±).

    由題意設橢圓方程為=1，由點G在橢圓上得=1，解得b²=9，

∴所求橢圓方程為=1.

(3)方法1：設C、D的坐標分別為(x，y)、(m，n)，則=(x，y-)，=(m，n-).

    由=λ，得(x，y-)=λ(m，n-)，x=λm，y=λn-λ+.

∵C、D在橢圓上，∴=1，=1，消去m得 n=.

又∵|n|≤3，∴||≤3，解得≤λ≤5，∴實數λ的取值范圍是［，1)∪(1，5］.

方法2：記點A、B的坐標分別為(0，3)、(0，-3)，過點A、B分別作y軸的垂線，交直線PC于點M、N.

    若||＜||，則||≤||，||≥||，

∴1＜≤==5，則1＜≤5，≤λ＜1；

    若||＞||，同理可得1＜≤==5，則1＜λ≤5.

    綜上，實數λ的取值范圍是［，1)∪(1，5］.