Question

已知函數f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）若f（x）的最小值為-2，求實數k的值；
（2）若不存在實數組x₁，x₂，x₃滿足不等式f（x₁）+f（x₂）≤f（x₃），求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）化簡函數，對k進行討論，利用f（x）的最小值為-2，即可求實數k的值；
（2）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立，分類討論，可求實數k的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2x+

1

2x

+1≥3，則y=1+

k-1

t

(t≥3)，
當k＞1時，y∈(1，

k+2

3

]，無最小值，舍去；
當k=1時，y=1最小值不是-2，舍去；
當k＜1時，y∈[

k+2

3

，1)，最小值為

k+2

3

=-2⇒k=-8，
綜上所述，k=-8． 4分
（2）由題意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
當k＞1時，因2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

且1＜f(x3)≤

k+2

3

，
故

k+2

3

≤2，即1＜k≤4；
當k=1時，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足條件；
當k＜1時，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2且

k+2

3

≤f(x3)＜1，故1≤

2k+4

3

，-

1

2

≤k＜1；
綜上所述，-

1

2

≤k≤46分．

點評：本題考查基本不等式的運用，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．