Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，點M是BC的中點，點N是AA₁的中點。

（1）求證：MN∥平面A₁CD；
（2）過N，C，D三點的平面把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截成兩部分幾何體，求所截成的兩部分幾何體的體積的比值。

Answer 1

解：（1）設點P為A的中點，連接MP，NP ∵點M是BC的中點， ∴MP∥CD ∵CD平面A1CD，MP平面A1CD， ∴MP∥平面A1CD ∵點N是AA1的中點， ∴NP∥A1D ∵A1D平面A1CD，NP平面A1CD， ∴NP∥平面A1CD ∵MP∩NP=P，MP平面MNP，NP平面MNP， ∴平面MNP∥平面A1CD ∵MN平面MNP， ∴MN∥平面A1CD。
（2）取BB1的中點Q，連接NQ，CQ ∵點N是AA1的中點， ∴NQ∥AB ∵AB∥CD， ∴NQ∥CD ∴過N，C，D三點的平面NQCD把長方體ABCD-A1B1C1D截成兩部分幾何體，其中一部分幾何體為直三棱柱QBC-NAD，另一部分幾何體為直四棱柱B1QCC1-A1NDD1 ∴ ∴直三棱柱QBC-NAD的體積V1=S△QBC·AB= ∵長方體ABCD-A1B1C1D1的體積V=1×1×2=2， ∴直四棱柱B1QCC1-A1NDD1體積V2=V-V1= ∴ ∴所截成的兩部分幾何體的體積的比值為。