Question

如右圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角的大小為（　　）

A．與點P的位置有關

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：雖然直線OP為動直線，但其在平面ADD₁A₁上的射影是不變的，依據三垂線定理，直線AM垂直于斜線在這個平面上的射影，就垂直于這條直線，從而發現AM恒與OP垂直．

解答：解：取AD中點N，則ON⊥平面ADD₁A₁，A₁N為OP在平面ADD₁A₁上的射影，
在正方形ADD₁A₁中，DM=AN，AD=AA₁，∴Rt△A₁NA≌Rt△AMD
∴AM⊥A₁N
由三垂線定理可知AM⊥OP

點評：本題考查了三垂線定理的運用，解題時要有較強的空間想象力，善于發現變化中的不變關系，將空間問題轉化為平面問題解決