Question

 如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，點N是BC的中點，點M在CC₁上．設二面角A₁-DN-M的大小為θ，
（1）當θ=90°時，求AM的長；
（2）當cosθ=

6

6

時，求CM的長．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，D-xyz，設CM=t（0≤t≤2），通過

DN

•

n1

=0，

DM

•

n1

=0求出平面DMN的法向量為

n1

，

DA1

•

n2

=0，

DN

•

n2

=0求出平面A₁DN的法向量為

n2

，推出

n1

•

n2

=-5t+1（1）利用θ=90°求出M的坐標，然后求出AM的長．
（2）利用cos＜

n1

，n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

以及cosθ=

6

6

，求出CM 的長．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，D-xyz，設CM=t（0≤t≤2），則各點的坐標為A（1，0，0），A₁（1，0，2），
N（

1

2

，1，0），M（0，1，t）；
所以

DN

=（

1

2

，1，0）.

DA1

=（1，0，2），

DM

=（0，1，t）
設平面DMN的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

DN

 •

n1

=0，

DM

•

n1

=0，
即x₁+2y₁=0，y₁+tz₁=0，令z₁=1，則y₁=-t，x₁=2t所以

n1

=（2t，-t，1），
設平面A₁DN的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

DA1

•

n2

=0，

DN

•

n2

=0，
即x₂+2z₂=0，x₂+2y₂=0，令z₂=1則y₂=1，x₂=-2所以

n2

=（-2，1，1），

n1

•

n2

=-5t+1
（1）因為θ=90°，所以

n1

•

n2

=-5t+1=0解得t=

1

5

從而M（0，1，

1

5

），
所以AM=

12+12+( 1 5 )2

=

51

5

（2）因為|

n1

| =

5t2+1

，|

n2

| =

6

所以，
cos＜

n1

，n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

-5t+1

6? × 5t2+1?

因為＜

n1

，n2

＞=θ或π-θ，所以

-5t+1

6? × 5t2+1?

=

6

6

解得t=0或t=

1

2

根據(jù)圖形和（1）的結論，可知t=

1

2

，從而CM的長為

1

2

．

點評：本題是中檔題，考查直線與平面，直線與直線的位置關系，考查轉化思想的應用，向量法解答立體幾何問題，方便簡潔，但是注意向量的夾角，計算數(shù)據(jù)的準確性．