Question

直線

3

x+y+1=0與圓x²+y²=1交于兩點A，B，O為坐標原點，則∠AOB=

120°

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，過圓心O作OD垂直于AB，根據垂徑定理得到D為弦AB的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心O到直線AB的距離d，在直角三角形OBD中，根據求出的d等于|OB|的一半，可得∠OBD為30°，又|OA|=|OB|，利用等邊對等角可得∠OAD=∠OBD=30°，利用三角形內角和定理即可求出∠AOB的度數．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

過O作OD⊥AB，根據垂徑定理得D為AB的中點，
∵圓心O到直線

3

x+y+1=0的距離d=

1

( 3 )2+1

=

1

2

，
∴|OD|=

1

2

，又|OB|=r=1，且△OBD為直角三角形，
∴∠OBD=30°，又|OA|=|OB|，
∴∠OAD=∠OBD=30°，
則∠AOB=180°-2∠OBD=120°．
故答案為：120°

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，垂徑定理，等腰三角形及直角三角形的性質，當直線與圓相交時，常常利用弦心距、弦長的一半及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理及銳角三角函數來解決問題．