Question

已知△ABC的兩個頂點B，C的坐標分別為（-1，0）和（1，0），頂點A為動點，如果△ABC的周長為6．
（Ⅰ）求動點A的軌跡M的方程；
（Ⅱ）過點P（2，0）作直線l，與軌跡M交于點Q，若直線l與圓x²+y²=2相切，求線段PQ的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）據題意，△ABC的兩個頂點B，C的坐標分別為（-1，0）和（1，0），頂點A為動點，△ABC的周長為6．
∴|AB|+|AC|=4，而4＞|BC|=2，
∴動點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，但須除去B、C兩點，
∴軌跡M的方程為（y≠0）
（Ⅱ）由于直線l不可能是x軸，故設其方程為x=my+2，由直線l與圓x²+y²=2相切，得，解得m=±1
把方程x=my+2代入方程中得（3m²+4）y²+12my=0，即得7y²±12y=0，解得y=0或．
所以點Q的坐標為或，
所以，即線段PQ的長為．
分析：（Ⅰ）根據△ABC的兩個頂點B，C的坐標分別為（-1，0）和（1，0），頂點A為動點，△ABC的周長為6，可得動點A的軌跡是以B、C為焦點的橢圓，但須除去B、C兩點，即可求得軌跡M的方程；
（Ⅱ）由于直線l不可能是x軸，故設其方程為x=my+2，利用直線l與圓x²+y²=2相切，求得m的值；把方程x=my+2代入方程中，求點Q的坐標，從而可求線段PQ的長．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查橢圓的定義，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查兩點間的距離公式，屬于中檔題．