Question

設函數fn(x)=xn+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，給出下列三個結論：
①函數f₂（x）在區間（

1

2

，  1）內不存在零點；
②函數f₃（x）在區間（

1

2

，  1）內存在唯一零點；
③?n∈N^*，且n≥4，函數f_n（x）在區間(

1

2

，  1)內存在零點．
其中所有正確結論的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①判斷函數f₂（x）=x²+x-1在區間（

1

2

，1）上取值情況．②利用f3(x)=x3+x-1的單調性判斷．③利用根的存在定理判斷．

解答：解：①因為f₂（x）=x²+x-1，所以f2(1)=1＞0，f2(

1

2

)=

1

4

+

1

2

-1=-

1

4

＜0，所以f₂（x）在區間（

1

2

，1）上存在零點，所以①錯誤．
②由題意知f3(x)=x3+x-1．因為f3(1)=1＞0，f3(

1

2

)=

1

8

+

1

2

-1=-

3

8

＜0，所以f₃（x）在區間（

1

2

，1）上存在零點，
又因為f3(x)=x3+x-1為單調遞增函數，所以函數f₃（x）在區間（

1

2

，  1）內存在唯一零點，所以②正確．
③?n∈N^*，且n≥4，fn(1)=1＞0，fn(

1

2

)=(

1

2

)n+

1

2

-1=(

1

2

)n-

1

2

＜0，所以函數f_n（x）在區間(

1

2

，  1)內存在零點，所以③正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查了函數零點的判斷，判斷函數零點問題主要是利用根的存在定理，判斷區間短點處的函數值符合相反即可．