Question

如圖，，是拋物線(為正常數(shù))上的兩個動點(diǎn)，直線AB與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，且

(Ⅰ)求證：直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)；
(Ⅱ)是否存在直線AB，使得若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）先求解直線AB的方程，來分析過定點(diǎn)。（2）直線方程為

解析試題分析：（Ⅰ）由題意知，直線的斜率存在，且不為零．
設(shè)直線的方程為： （，）
由，得．∴，  
∴． 
∵，∴，∵，∴．
∴直線的方程為：．
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴直線過拋物線C的焦點(diǎn)．    
（Ⅱ）假設(shè)存在直線，使得, 即．
作軸，軸,垂足為、，
∴       
∵，        
∴==．
由，得．
故存在直線，使得．直線方程為．
考點(diǎn)：本試題考查了直線與拋物線的關(guān)系運(yùn)用。
點(diǎn)評：解決直線與拋物線的位置關(guān)系的運(yùn)用問題，一般都要考查了拋物線的定義的運(yùn)用，即拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于對其到準(zhǔn)線的距離來解答，同時直線與拋物線的位置關(guān)系，也要結(jié)合設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而得到證明的結(jié)論，屬于難度試題。