Question

已知函數y=f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=3^x-1，設f（x）的反函數是y=g（x），則g（-8）=

 

Answer 1

分析：本題屬于小題綜合，應用到函數的奇偶性和反函數的求法，運用求反函數的方法先求出反函數g（x），然后代入即可．

解答：解：法一：當x＜0時，-x＞0，由已知f（-x）=3^-x-1．
又∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=3^-x-1．
∴f（x）=1-3^-x．
∴f（x）=

3x-1 1-3-x

x≥0 x＜0.

∴f^-1（x）=

log3(x+1)      x≥0 -log3(1-x)    x＜0.

∴f^-1（-8）=g（-8）=-log₃（1+8）=-log₃3²=-2．
法二：當x＜0時，-x＞0，由已知f（-x）=3^-x-1．
又∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即-f（x）=3^-x-1．
∴f（x）=1-3^-x．根據反函數定義
令1-3^-x=-8 得 x=-2，即：g（-8）=-2
答案為：-2

點評：這里提供的解法一是常規方法，表現為思路清晰易找，推理嚴謹易懂，但較為繁瑣．
解法二直接利用了反函數的函數值與原函數的自變量的值之間的互換特點解決，簡捷明了，簡單易行．