Question

如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在中，由題設，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．

（Ⅱ）解：由題設，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角．

在中，由余弦定理得

．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．

所以異面直線與所成的角的大小為．

（Ⅲ）解：過點作于，過點作于，連結．

因為平面，平面，所以．又，因而平面，故為在平面內的射影．由三垂線定理可知，．從而是二面角的平面角．

由題設可得，

 

，，

于是在中，．

所以二面角的大小為．