Question

已知F₁、F₂分別為雙曲線

x 2

a 2

-

y 2

b 2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P使得

|PF2|2

|PF1|

=8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是

（1，3]

．

Answer 1

分析：依題意，雙曲線左支上存在一點P使得

|PF2|2

|PF1|

=8a，|PF₁|-|PF₂|=-2a，可求得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a，再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|之間的關(guān)系即可求得雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：∵P為雙曲線左支上一點，
∴|PF₁|-|PF₂|=-2a，
∴|PF₂|=|PF₁|+2a，①
又

|PF2|2

|PF1|

=8a，②
∴由①②可得，|PF₁|=2a，|PF₂|=4a．
∴|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|，即2a+4a≥2c，
∴

c

a

≤3，③
又|PF₁|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2a+2c＞4a，
∴

c

a

＞1．④
由③④可得1＜

c

a

≤3．
故答案為：（1，3]．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，依題意求得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a是基礎(chǔ)，利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|之間的三角關(guān)系得到關(guān)于a，c的不等式組是關(guān)鍵，也是難點，考查分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．