Question

過點Q（2，4）引直線與圓x²+y²=1交于R，S兩點，那么弦RS的中點P的軌跡為

1. A.
   圓（x+1）²+（y+2）²=5
2. B.
   圓x²+y²+2x+4y=0的一段弧
3. C.
   圓x²+y²-2x-4y=0的一段弧
4. D.
   圓（x-1）²+（y-2）²=5

Answer 1

C
分析：判斷Q與圓的位置關系，畫出圖象，轉化為圓的方程的一部分得到選項．
解答：解：因為點Q（2，4）在圓x²+y²=1的外部，如圖：
所以過點Q（2，4）引直線與圓x²+y²=1交于R，S兩點，
斜率存在，是一段區間，因為弦RS的中點P，所以OP⊥RS，
即△OPQ是直角三角形，OQ是定值，OQ==，
OQ的中點為（1，2），圓的半徑為：．
所以所求的軌跡方程為：（x-1）²+（y-2）²==5，
即x²+y²-2x-4y=0．因為斜率存在，是一段區間，
所求軌跡是圓的一部分．
故選C．
點評：本題考查曲線軌跡方程的求法，考查轉化思想計算能力，注意圖象的應用．