Question

20．已知F₁和F₂是兩個定點，橢圓C₁與等軸雙曲線C₂（實軸長等于虛軸長）都以F₁、F₂為焦點，點P是C₁與C₂的一個交點，且∠F₁PF₂=90°，則橢圓C₁的離心率是$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用橢圓、雙曲線的定義，求出|PF₁|，|PF₂|，結合∠F₁PF₂=90°，利用勾股定理，建立方程，即可求出橢圓的離心率e．

解答 解：設橢圓的長半軸長為a₁，雙曲線的實半軸長為a₂，焦距為2c，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，且不妨設m＞n，橢圓的離心率為e，
由m+n=2a₁，m-n=2a₂得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂．
又∠F₁PF₂=90°，由勾股定理可得4c²=m²+n²=2a₁²+2a₂²，
∴$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{2}$=2，
解得e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的定義與性質，考查離心率公式和勾股定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．