Question

【題目】已知函數，其中.

（Ⅰ）給出的一個取值，使得曲線存在斜率為的切線，并說明理由；

（Ⅱ）若存在極小值和極大值，證明： 的極小值大于極大值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先對原函數求導，只需令方程 有解即可得 的范圍，進而可得的一個取值，在驗證即可；（Ⅱ）對求導；求方程的所有實數根，列表格判斷各個根左右兩邊符合。進而可得結果．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域是且，且.

當時，曲線存在斜率為的切線.證明如下：

曲線存在斜率為的切線方程存在上的解，

令，整理得，

解得，或.

所以，當時，曲線存在斜率為的切線.

注：本題答案不唯一，只要均符合要求.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

①當時， 恒成立，

函數在區間和上單調遞增，無極值，不合題意.

②當時，令，整理得.

由，

所以，上述方程必有兩個不相等的實數解， ，不妨設.

由得.

， 的變化情況如下表：

所以， 存在極大值，極小值.

.

因為，且.

所以， ，

所以.

所以的極小值大于極大值.