【答案】
分析:解法一(幾何法)(1)連AC,設AC∩BD=O,連接OC,OC
1,可得∠COC
1即為二面角C
1-DB-C的平面角,解Rt△COC
1,即可得到二面角C
1-DB-C的正切值.
(2)設AP與面BDD
1B
1交于點G,連OG,可得∠AGO即為AP與面BDD
1B
1所成的角,解Rt△AOG,即可得到一個關于m的方程,解方程即可得到滿足條件的m的值.
解法二(向量法)(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,分別求出平面C
1DB和平面DBC的法向量,代入向量夾角公式,即可得到二面角C
1-DB-C的正切值;
(2)分別求出直線AP的方向向量與平面BDD
1B
1的法向量,根據根據直線AP與平面BDD
1B
1所成角的正切值為3

,構造一個關于m的方程,解方程即可得到滿足條件的m的值.
解答:
解法一(幾何法):
解:(1)如圖,連AC,設AC∩BD=O,連接OC,OC
1,
則AC⊥BD,CC
1⊥BD,
∴BD⊥平面CC
1O,
∴BD⊥CC
1,
故∠COC
1即為二面角C
1-DB-C的平面角
在Rt△COC
1中,CC
1=1,CO=

則tan∠COC
1=

=

故二面角C
1-DB-C的正切值為

(2)設AP與面BDD
1B
1交于點G,連OG,
因為PC∥面BDD
1B
1,而BDD
1B
1∩面APC=OG,
故OG∥PC,
所以OG=

PC=

.
又AO⊥DB,AO⊥BB
1,
所以AO⊥面BDD
1B
1,
故∠AGO即為AP與面BDD
1B
1所成的角
在Rt△AOG中,tan∠AGO=

=3

即m=

.?
故當m=

時,直線AP與平面BDD
1B
1所成角的正切值為3

.?

解法二(向量法)
解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B
1(1,1,1),D
1(0,0,1)?
則

=(0,0,1)為平面DBC一個法向量,
設

=(x,y,z)為平面C
1DB的一個法向量,則

即

則

=(1,-1,1)
設二面角C
1-DB-C的平面角為θ
則cosθ=

=

則sinθ=

,tanθ=

即二面角C
1-DB-C的正切值為

(2)∵

=(-1,1,0),

=(0,0,1),?

=(-1,1,m),

=-1,1,0),?
又由

•

=0,

•

=0知,

為平面BB
1D
1D的一個法向量.?
設AP與平面BB
1D
1D所成的角為θ,?
則sinθ=cos(

-θ)=

=

依題意有

=

,?
解得m=

,??
故當m=

時,直線AP與平面BDD
1B
1所成角的正切值為3

.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面所成的解,其中解法一的關鍵是找到線面夾角和二面角的平面角,將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為解三角形問題;而解法二的關鍵是建立空間坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量,將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為向量夾角問題.