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如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是側棱CC1上的一點,CP=m.
(1)求二面角C1-DB-C的正切值;
(2)試確定m,使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3

【答案】分析:解法一(幾何法)(1)連AC,設AC∩BD=O,連接OC,OC1,可得∠COC1即為二面角C1-DB-C的平面角,解Rt△COC1,即可得到二面角C1-DB-C的正切值.
(2)設AP與面BDD1B1交于點G,連OG,可得∠AGO即為AP與面BDD1B1所成的角,解Rt△AOG,即可得到一個關于m的方程,解方程即可得到滿足條件的m的值.
解法二(向量法)(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,分別求出平面C1DB和平面DBC的法向量,代入向量夾角公式,即可得到二面角C1-DB-C的正切值;
(2)分別求出直線AP的方向向量與平面BDD1B1的法向量,根據根據直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3,構造一個關于m的方程,解方程即可得到滿足條件的m的值.
解答: 解法一(幾何法):
解:(1)如圖,連AC,設AC∩BD=O,連接OC,OC1
則AC⊥BD,CC1⊥BD,
∴BD⊥平面CC1O,
∴BD⊥CC1
故∠COC1即為二面角C1-DB-C的平面角
在Rt△COC1中,CC1=1,CO=
則tan∠COC1==
故二面角C1-DB-C的正切值為
(2)設AP與面BDD1B1交于點G,連OG,
因為PC∥面BDD1B1,而BDD1B1∩面APC=OG,
故OG∥PC,
所以OG=PC=
又AO⊥DB,AO⊥BB1
所以AO⊥面BDD1B1
故∠AGO即為AP與面BDD1B1所成的角
在Rt△AOG中,tan∠AGO==3
即m=.?
故當m=時,直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3.?
解法二(向量法)
解:(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)?
=(0,0,1)為平面DBC一個法向量,
=(x,y,z)為平面C1DB的一個法向量,則

=(1,-1,1)
設二面角C1-DB-C的平面角為θ
則cosθ==
則sinθ=,tanθ=
即二面角C1-DB-C的正切值為
(2)∵=(-1,1,0),=(0,0,1),?
=(-1,1,m),=-1,1,0),?
又由=0,=0知,為平面BB1D1D的一個法向量.?
設AP與平面BB1D1D所成的角為θ,?
則sinθ=cos(-θ)==
依題意有=,?
解得m=,??
故當m=時,直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面所成的解,其中解法一的關鍵是找到線面夾角和二面角的平面角,將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為解三角形問題;而解法二的關鍵是建立空間坐標系,求出直線的方向向量和平面的法向量,將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為向量夾角問題.
練習冊系列答案
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(2)求證:B1C⊥平面BDE.

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(1)當平面OBC繞l順時針旋轉與平面α第一次重合時,求平面OBC轉過角的正弦
值.
(2)在上述旋轉過程中,△OBC在平面α上的投影為等腰△OB1C1(如圖1),B1C1的中點為O1.當AO⊥平面α時,問在線段OA上是否存在一點P,使O1P⊥OBC?請說明理由.

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