Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m．
（1）求二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3．

Answer 1

【答案】分析：解法一（幾何法）（1）連AC，設AC∩BD=O，連接OC，OC₁，可得∠COC₁即為二面角C₁-DB-C的平面角，解Rt△COC₁，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值．
（2）設AP與面BDD₁B₁交于點G，連OG，可得∠AGO即為AP與面BDD₁B₁所成的角，解Rt△AOG，即可得到一個關于m的方程，解方程即可得到滿足條件的m的值．
解法二（向量法）（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面C₁DB和平面DBC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-DB-C的正切值；
（2）分別求出直線AP的方向向量與平面BDD₁B₁的法向量，根據根據直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3，構造一個關于m的方程，解方程即可得到滿足條件的m的值．
解答： 解法一（幾何法）：
解：（1）如圖，連AC，設AC∩BD=O，連接OC，OC₁，
則AC⊥BD，CC₁⊥BD，
∴BD⊥平面CC₁O，
∴BD⊥CC₁，
故∠COC₁即為二面角C₁-DB-C的平面角
在Rt△COC₁中，CC₁=1，CO=
則tan∠COC₁==
故二面角C₁-DB-C的正切值為
（2）設AP與面BDD₁B₁交于點G，連OG，
因為PC∥面BDD₁B₁，而BDD₁B₁∩面APC=OG，
故OG∥PC，
所以OG=PC=．
又AO⊥DB，AO⊥BB₁，
所以AO⊥面BDD₁B₁，
故∠AGO即為AP與面BDD₁B₁所成的角
在Rt△AOG中，tan∠AGO==3
即m=．?
故當m=時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3．?
解法二（向量法）
解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）?
則=（0，0，1）為平面DBC一個法向量，
設=（x，y，z）為平面C₁DB的一個法向量，則
即
則=（1，-1，1）
設二面角C₁-DB-C的平面角為θ
則cosθ==
則sinθ=，tanθ=
即二面角C₁-DB-C的正切值為
（2）∵=（-1，1，0），=（0，0，1），?
=（-1，1，m），=-1，1，0），?
又由•=0，•=0知，為平面BB₁D₁D的一個法向量．?
設AP與平面BB₁D₁D所成的角為θ，?
則sinθ=cos（-θ）==
依題意有=，?
解得m=，??
故當m=時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面所成的解，其中解法一的關鍵是找到線面夾角和二面角的平面角，將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為解三角形問題；而解法二的關鍵是建立空間坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，將空間線面夾角問題和二面角問題轉化為向量夾角問題．