Question

若f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且對于一切x＞0滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y），
（1）求f（1）的值
（2）若f（6）=-1，解不等式f（x+5）-f（

1

x

）＜-2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）依題意（f（6）=-1），可求得f（36）=-2，從而f（x+5）-f（

1

x

）＜-2?f[（x+3）x]＜f（36），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)可得到關(guān)于x的不等式組，解之即可．

解答：（1）令x=y=1，
則f（1）=f（1）-f（1）=0------（2分）
（2）∵f（

36

6

）=f（36）-f（6），f（6）=-1，
∴f（36）=2f（6）=-2------（4分）
∴f（x+3）-f（

1

x

）＜f（36），
∴f[（x+3）x]＜f（36）------（6分）
∵f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)∴

x2+5x＞36 x+5＞0 x＞0

------（10分）
∴x＞4------（12分）

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法，考查函數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．