Question

【題目】已知四面體有五條棱長為3，且外接球半徑為2.動點P在四面體的內部或表面，P到四個面的距離之和記為s.已知動點P在，兩處時，s分別取得最小值和最大值，則線段長度的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設四面體為,其中，取的中點分別為，求出的長，將點到四個面的距離之和記為s，轉化為到其中兩個面的距離，利用等體積的方法分析出距離之和的最值，從而得到線段長度的最小值為，上兩點間的距離的最小值，得到答案.

四面體為,其中,設.

取的中點分別為，連接 ,如圖.

在等腰三角形中，有.

所以平面，又為的中點.

則四面體的外接球的球心一定在平面 上.

同理可得四面體的外接球的球心一定在平面上.

所以四面體的外接球的球心一定在上.

連接，設.

在直角三角形中，.

在三角形中，.

在直角三角形中,.

所以長為定值，的長為定值.

根據條件有,設為, ,設為

設點到四個面,,,的距離分別為.

設四面體的體積為(為定值)

由等體積法有：

所以

所以

當點在上時，最小.

當點遠離時，的值增大，

由等體積法可得當點在上時，的值相等，且此時的值最大.

所以當點在或上時，取得最值.

故線段長度的最小值為，上兩點間的距離的最小值.

由上可知，.

所以，上兩點間的距離的最小值為.

故答案為：.