Question

（2011•安徽模擬）已知f（x）=x²+3x+1，g（x）=

a-1

x-1

+x．
（I）a=2時，求y=f（x）和y=g（x）的公共點個數(shù)；
（II）a為何值時，y=f（x）和y=g（x）的公共點個數(shù)恰為兩個．

Answer 1

分析：（I）a=2時，令f（x）=g（x）可得x³+x²-x-2=0（x≠1），令y=x³+x²-x-2=0 （x≠1），根據(jù)它的導數(shù)判斷函數(shù)y的極值點在-1和

1

3

處，且兩個極值都是負數(shù)，故y=f（x）和y=g（x）的公共點只有一個．
（II）聯(lián)立y=f（x）和y=g（x）得 a=x³+x²-x，且 x≠1，畫出函數(shù)h（x）=x³+x²-x 的草圖，求出h（x） 的極值，可得當a=

-5

27

時，y=a和y=h（x）恰有2個交點．

解答：解：（I）a=2時，令f（x）=g（x）可得 x²+3x+1=

1

x-1

+x，整理可得 x³+x²-x-2=0 （x≠1）．
令y=x³+x²-x-2=0 （x≠1），它的導數(shù)為y′=3x²+2x-1，令y′=0，可得 x₁=-1，x2=

1

3

．
故函數(shù)y的極值點在-1和

1

3

處，且兩個極值都是負數(shù)，故函數(shù)y與x軸的交點只有一個，故y=f（x）和y=g（x）的公共點只有一個．
（II）聯(lián)立y=f（x）和y=g（x）得 x²+3x+1=

a-1

x-1

+x，整理可得 a=x³+x²-x，且 x≠1．
令函數(shù)h（x）=x³+x²-x，可得函數(shù)h（x） 的極值點在-1和

1

3

處，畫出h（x）的草圖，
當x=-1時，h（x）=1；  當x=

1

3

 時，h（x）=

-5

27

．
故當a=1時，y=a和y=h（x）僅有一個交點，因為（1，1）不在h（x）上，不滿足條件．
故當a=

-5

27

時，結(jié)合圖象可得y=a和y=h（x）恰有2個交點．
綜上，只有當a=

-5

27

時，才能滿足y=a和y=h（x）恰有2個交點．

點評：本題主要考查方程根的存在性以及個數(shù)的判斷方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．