Question

如圖1，△ABC的三邊長分別為AC=6、AB=8、BC=10，O′為其內心；取O′A、O′B、O′C的中點A′、B′、C′，并按虛線剪拼成一個直三棱柱ABC-A′B′C′（如圖2），上下底面的內心分別為O′與O；
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；
（Ⅱ）直三棱柱ABC-A′B′C′中，設線段OO'與平面AB′C交于點P，求二面角B-AP-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)△ABC的三邊的平方關系，得△ABC為直角三角形，算出其內切圓半徑r=2，從而得到直三棱柱ABC-A′B′C′的底面三角形的形狀和高AA'的長，結合柱體體積公式即可算出直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；
（II）以A為原點，AB、AC、AA'為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，可得向量、坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出是平面AB'C的一個法向量；同樣的方法算出是平面ABP的一個法向量，利用空間向量的夾角公式算出=，結合圖形加以觀察即可得到二面角B-AP-C的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可得△ABC為直角三角形，
∵△ABC的內切圓半徑r==2，-----（1分）
∴直三棱柱ABC-A'B'C'的高等于r=1，-----------------------------（2分）
∵△A'B'C'是兩條直角邊分別為3、4的直角三角形，
∴直三棱柱ABC-A′B′C′的體積；-----------（5分）
（Ⅱ）如圖，以A為原點，AB、AC、AA'為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則，，
設平面AB'C的法向量，
則，取x=1，得y=0，z=-4，所以--------------------（7分）
再設，由算出，可得；-------------（10分）
而，設平面ABP的法向量，
則，取y'=1，可得；-------------------------------（12分）
∴==，
再根據(jù)圖形，得二面角B-AP-C為鈍角，即二面角B-AP-C的平面角與互為補角
因此，二面角B-AP-C的余弦值等于．------------------------------------（14分）
點評：本題給出直角三角形的折疊問題，求折成的三棱柱的體積并求二面角的余弦值，著重考查了直角三角形內切圓的性質、柱體體積的求法和利用空間向量求二面角大小等知識，屬于中檔題．