Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=

7

2

，S₆=

63

2

．
（1）求等比數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=6n-61+log₂a_n，證明數列{b_n}為等差數列；
（3）對（2）中的數列{b_n}，前n項和為T_n，求使T_n最小時的n的值．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列求和公式建立a₁與q的方程組，從而可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出數列{b_n}的通項公式，然后計算b_n+1-b_n看其是否常數，從而可判斷是否為等差數列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

求出滿足條件的n，從而可求出使T_n最小時的n的值．

解答：解：（1）∵S₆=

63

2

≠2S₃，∴q≠1
∴

a1(1-q3) 1-q = 7 2 a1(1-q6) 1-q = 63 2

兩式子相除得1+q³=9，解得q=2，
代入解得a₁=

1

2

∴a_n=a₁q^n-1=2^n-2．
（2）b_n=6n-61+log₂a_n=7n-63，
b_n+1-b_n=7（n+1）-63-7n+63=7，
∴{b_n}為等差數列；
（3）令

bn≤0 bn+1≥0

得

7n-63≤0 7n-56≥0

解得8≤n≤9，
∴當n=8或n=9時，前n項和為T_n最小．

點評：本題主要考查了數列的通項，以及數列的判定和數列的求和，同時考查了運算求解能力，屬于基礎題．