Question

已知拋物線y=g（x）經過點O（0，0）、A（m，0）與點P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，設函數f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值，則a，b，m，n的大小關系為______．

Answer 1

由拋物線經過點O（0，0）、A（m，0）設拋物線方程y=kx（x-m），k≠0，
又拋物線過點P（m+1，m+1），則m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
則y=g（x）=x（x-m）=x²-mx，
∴f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，又函數f（x）在x=a和x=b處取到極值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0，
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n²-mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．