Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3

2

．
（1）求證：OD⊥平面ABC；
（2）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意，OM=OD=3，又DM=3

2

，利用勾股定理的逆定理可得OD⊥OM．
利用菱形的性質可得OD⊥AC．再利用線面垂直的性質可得OD⊥平面ABC．
（2）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由（1）知，OD⊥平面ABC，OD為三棱錐D-ABM的高．再求出△ABM的面積，利用三棱錐的體積計算公式即可．

解答：（1）證明：由題意，OM=OD=3，
∴OM2+OD2=18=(3

2

)2=DM2．
∴∠DOM=90°，∴OD⊥OM．
又∵菱形OM∩AC=O，∴OD⊥AC．
∵OM∩AC=O，∴OD⊥平面ABC．
（2）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．
由（1）知，OD⊥平面ABC，
∴OD=3為三棱錐D-ABM的高．
△ABM的面積=

1

2

BM×BA×sin120°=

1

2

×3×6×

3

2

=

9 3

2

，
所求體積等于

1

3

×S△ABM×OD=

9 3

2

．

點評：熟練掌握線面垂直的判定定理、勾股定理的逆定理、菱形的性質、三角形的面積計算公式、三棱錐的體積計算公式等是解題的關鍵．