Question

【題目】設，則的最小值為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

設（其中，則），其幾何意義為兩點，的距離的平方，令，，

則，而是拋物線上的點到準線的距離，從而可以看作拋物線上的點到焦點距離和到上的點的距離的和，即的最小值是點到上的點的距離的最小值.

設（其中，則），其幾何意義為兩點，的距離的平方，令，，

由的導數為，，

點在曲線上，又，

令，，

則，而是拋物線上的點到準線的距離，即拋物線上的點到焦點的距離，

從而可以看作拋物線上的點到焦點距離和到上的點的距離的和，即，如圖所示：

由兩點之間線段最短，得的最小值是點到上的點的距離的最小值，由點到直線上垂線段最短，則就最小，即最小，

設，則，即，解得，即

點到的距離就是點到上的點的距離的最小值，

故的最小值為，即的最小值為.

故答案為：.