Question

已知關于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對一切m∈R恒有實數解，則點（a，b）在平面ab上的區域面積為

 

．

Answer 1

分析：先將關于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化為x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，根據方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對一切m∈R恒有實數解，△≥0，得到m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，恒成立，從而得：△′≤0，得出1≤a²+b²≤2，則點（a，b）在平面ab上的區域是圓環，最后求得其面積．

解答：解：關于x的二次方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）可化為：
x²-（3+m）x+2+m（a²+b²）=0，
∵方程（x-1）（x-2）=m（x-a²-b²）對一切m∈R恒有實數解，
∴△≥0，即（3+m）²-4[2+m（a²+b²]≥0，
化簡得：m²+[6-4（a²+b²）]m+1≥0，
從而得：△′≤0，
即[6-4（a²+b²）]²-4≤0，
1≤a²+b²≤2，
則點（a，b）在平面ab上的區域是圓環，其面積為(

2

) 2π-1×π=π，
故答案為：π．

點評：本小題主要考查一元二次不等式的應用、二元一次不等式（組）與平面區域等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．