Question

已知函數f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0），若對任意的a∈R，函數y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點．
（1）試確定ω的值（不必證明），并求函數f（x）在（0，

4π

7

）的值域；
（2）求函數f（x）在（0，4）上的單調增區間．

Answer 1

（1）由f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，
得f（x）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-（1+cosωx）
=2sinωxcos

π

6

-1-cosωx
=

3

sinωx-cosωx-1．
整理得：f(x)=2sin(ωx-

π

6

)-1．
∵對任意的a∈R，函數y=f（x），x∈（a，a+π]的圖象與直線y=-1有且僅有兩個不同的交點
∴T=π，則ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1．
當x∈（0，

4π

7

）時，2x-

π

4

∈(-

π

6

，

41π

42

)，
∴f（x）在（0，

4π

7

）的值域為（-2，1]；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
當k=0時，-

π

6

≤x≤

π

3

；
當k=1時，

5π

6

≤x≤

4π

3

．
∴函數f（x）在（0，4）上的單調增區間為(0，

π

3

)，(

5π

6

，4)．