Question

【題目】已知正三棱錐P﹣ABC，點P，A，B，C都在半徑為 的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面ABC的距離為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵正三棱錐P﹣ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接圓O，
∵圓O的半徑為 ，
∴正方體的邊長為2，即PA=PB=PC=2
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離
設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P﹣ABC的體積V= S△ABC×h= S△PAB×PC= × ×2×2×2=
△ABC為邊長為2 的正三角形，S△ABC= ×
∴h= =
∴正方體中心O到截面ABC的距離為 ﹣ =
故答案為
先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算