Question

設a為實數，記函數f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）．

Answer 1

（1）∵t=

1+x

+

1-x

，∴要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1．
∵t2=2+2

1-x2

∈[2，4]，且t≥0…①，∴t的取值范圍是[

2

，2]．
由①得：

1-x2

=

1

2

t2-1，∴m(t)=a(

1

2

t2-1)+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]．
（2）由題意知g（a）即為函數m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值，
∵直線t=-

1

a

是拋物線m（t）=

1

2

at2+t-a的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
1）當a＞0時，函數y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知m（t）在t∈[

2

，2]上單調遞增，故g（a）=m（2）=a+2；
2）當a=0時，m（t）=t，在t∈[

2

，2]上單調遞增，有g（a）=2；
3）當a＜0時，，函數y=m（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若t=-

1

a

∈(0，

2

]即a≤-

2

2

時，g（a）=m(

2

)=

2

，
若t=-

1

a

∈(

2

，2]即a∈(-

2

2

，-

1

2

]時，g（a）=m(-

1

a

)=-a-

1

2a

，
若t=-

1

a

∈（2，+∞）即a∈(-

1

2

，0)時，g（a）=m（2）=a+2．
綜上所述，有g（a）=

a+2   (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a  (- 2 2 ＜a≤- 1 2 ) 2   (a≤- 2 2 )

．