Question

如圖ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意跳到相鄰三頂點之一，若在五次內跳到C₁點，則停止跳動；若5次內不能跳到C₁點，跳完五次也停止跳動，求：
（1）5次以內能到C₁點的跳法有多少種？
（2）從開始到停止，可能出現的跳法有多少種？

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個分步計數問題，如果不回跳，那么跳三次可到達C₁點，第一跳有3種；第二跳有2種；第三跳有1種，相乘得到結果．
（2）本題是一個分類計數問題，由條件青蛙的跳法只可能出現兩種情況，其一跳三次到達C₁點，有6種跳法，其二跳五次停止（前三次不到C₁點），根據分類計數得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個分步計數問題，如果不回跳，那么跳三次可到達C₁點，
第一跳有3種；第二跳有2種；第三跳有1種，
根據乘法原理知共有N₁=3×2×1=6種．
（2）由題意知本題是一個分類計數問題，
由條件青蛙的跳法只可能出現兩種情況，
其一跳三次到達C₁點，有6種跳法，
其二跳五次停止（前三次不到C₁點），有（3³-6）•3²=189，
故共有6+189=195種不同的跳法．

點評：本題考查加法原理和乘法原理，同時也考查了學生分析解答問題的能力，本題解題的關鍵是從已知分析得到，青蛙不能經過跳1次、2次或4次到達，應從青蛙跳3次到達和青蛙一共跳5次后停止兩種情況入手分析計算，本題是一個中檔題目．