Question

已知函數f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（-1，1）點，其反函數f^-1（x）的圖象過點（8，2）．
1）求a、k的值（12’）；
2）若將y=f^-1（x）的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y=g（x）的圖
像，寫出y=g（x）的解析式；
3）若函數F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取最小值時的x的值．

Answer 1

分析：1）由已知中函數f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的反函數f^-1（x）的圖象過點（8，2），可得函數f（x）的圖象過（2，8）點，再由函數f（x）的圖象過（-1，1）點，代入構造關于a，k的方程組，解方程組即可得到a、k的值；
2）由1）中結論，我們可以求出函數f（x）的解析式，進而求出其反函數f^-1（x）的解析式，再根據函數圖象的平移變換法則，得到y=g（x）的解析式；
3）由函數F（x）=g（x²）-f^-1（x），我們可以求出函數F（x）的解析式，根據基本不等式，我們可以確定出真數部分的取值范圍，進而再由對數函數的單調性即可得到F（x）的最小值及取最小值時的x的值．

解答：解：1）∵函數f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（-1，1）點，
∴1=a^k-1…①
又∵函數f（x）=a^x+k其反函數f^-1（x）的圖象過點（8，2）．
故函數f（x）=a^x+k（a＞0，a≠1）的圖象過（2，8）點，
∴8=a^k+2…①
由①②得
a=2，k=1
2）由1）得f（x）=2^x+1
∴y=f^-1（x）=log₂x-1
將y=f^-1（x）的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到y=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=log₂（x-2）-1+1
∴g（x）=log₂（x+2），（x＞-2）；
3）∵函數F（x）=g（x²）-f^-1（x），
又∵g（x）=log₂（x+2），f^-1（x）=log₂x-1
∴g（x²）=log₂（x²+2），
∴F（x）=g（x²）-f^-1（x）=log₂（x²+2）-log₂x+1
∴F(x)=log2(x+

2

x

)+1，x＞0⇒x=

2

時，F(x)min=

5

2

．

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，函數圖象的平移變換，基本不等式在求函數最小值時的應用，反函數，其中（1）的關鍵是根據已知函數f（x）=a^x+k的反函數f^-1（x）的圖象過點（8，2），得到函數f（x）的圖象過（2，8）點，（2）的關鍵是熟練掌握函數圖象的平移變換法則“左加右減，上加下減”，（3）的關鍵是利用基本不等式求出函數F（x）解析式中真數部分的最值．